Question

（1）证明函数f（x）=x²-1在（-∞，0）上是减函数；
（2）讨论函数f（x）=x+

1

x

在区间（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用作差法，结合函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，0）上的增减性；
（2）用作差法，结合函数单调性的定义讨论f（x）在（0，+∞）上的增减性．

解答： 解：（1）证明：任取x₁＜x₂＜0，则
f（x₂）-f（x₁）=（x22-1）-（x12-1）
=（x₂-x₁）（x₂+x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数；---（6分）
（2）任取0＜x₁＜x₂，则
f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

1

x2

）-（x₁+

1

x1

）
=

(x2-x1)(x2x1-1)

x2x1

；
当x₂＞x₁＞1时，f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）；
当1＞x₂＞x₁＞0时，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁）；
∴函数在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．---（12分）

点评：本题考查了函数的单调性的判定问题，解题时应利用作差法来讨论函数的单调性，是基础题．