Question

设二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0
（1）求证：b+c+1=0；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b，c值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据sinα∈[-1，1]，2+cosβ∈[1，3]，结合条件可得f（1）≥0，且f（1）≤0，即 f（1）=0恒成立，从而证得结论．
（2）根据f（3）≤0，以及b+c+1=0，证得c≥3．
（3）由题意可知：8=f（-1）=1-b+c①，再结合b+c=-1②，从而求得b，c值．

解答： 解：（1）∵sinα∈[-1，1]，2+cosβ∈[1，3]，又∵f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0恒成立．∴f（1）≥0，且f（1）≤0，
即  f（1）=0恒成立．∴1+b+c=0．
（2）∵f（3）≤0，∴9+3b+c≤0，∴9+3（-1-c）+c≤0，∴c≥3．
（3）由题意可知：不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0
且sinα∈[-1，1]，2+cosβ∈[1，3]，
故f（x）在[-1，1]上为减函数，∴8=f（-1）=1-b+c①，∵b+c=-1②，
由①，②可得 b=-4，c=3．

点评：本题主要考查正弦函数、余弦函数的值域，二次函数的性质的应用，属于基础题．