Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=2，CC₁=5，E是棱CC₁上不同于端点的点，且

CE

=λ

CC1

．
（1）当∠BEA₁为钝角时，求实数λ的取值范围；
（2）若λ=

2

5

，记二面角B₁-A₁B-E的大小为θ，求|cosθ|．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,向量数乘的运算及其几何意义

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．根据∠BEA₁为钝角时，cos∠BEA₁＜0，即

EB

•

EA1

＜0，进而求出实数λ的取值范围；
（2）求出平面BEA₁的一个法向量为

n

，平面BA₁B₁的一个法向量为

m

，代入向量夹角公式，可得|cosθ|的值．

解答： 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设知B（2，3，0），A₁（2，0，5），C（0，3，0），C₁（0，3，5）．
因为

CE

=λ

CC1

，所以E（0，3，5λ），从而

EB

=（2，0，-5λ），

EA1

=（2，-3，5-5λ）．…（2分）
当∠BEA₁为钝角时，cos∠BEA₁＜0，且

EB

与

EA1

不共线，
所以

EB

•

EA1

＜0，
即2×2-5λ（5-5λ）＜0，
解得

1

5

＜λ＜

4

5

．
即实数λ的取值范围是（

1

5

，

4

5

）．             …（5分）
（2）当λ=

2

5

时，

EB

=（2，0，-2），

EA1

=（2，-3，3）．
设平面BEA₁的一个法向量为

n

=（x，y，z），
由

n • EB =0 n • EA 1 =0

，即

2x-2z=0 2x-3y+3z=0

取x=1，得y=

5

3

，z=1，
所以平面BEA₁的一个法向量为

n

=（1，

5

3

，1）．  …（7分）
易知，平面BA₁B₁的一个法向量为

m

=（1，0，0）．
因为|cosθ|=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

43 9

=

3 43

43

，
从而|cosθ|=

3 43

43

．                        …（10分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，向量数量积，其中建立空间坐标系，将空间直线夹角和二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．