Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=-20，且对任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（Ⅰ）求a₃，a₅；
（Ⅱ）设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），证明：{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）记数列{b_n}的前n项和为S_n，求正整数k，使得对任意n∈N^*均有s_k≤s_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）欲求a₃，a₅只需令m=2，n=1赋值即可．
（Ⅱ）以n+2代替m，然后利用配凑得到b_n+1-b_n，和等差数列的定义即可证明．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n=8n-2，数列{b_n}单调递增，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20
（Ⅱ）当n∈N^*时，由已知（以n+2代替m）可得
a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8
于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8
所以{b_n}是公差为8的等差数列
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n=8n-2，数列{b_n}单调递增，
∵正整数k，使得对任意n∈N^*均有s_k≤s_n．
∴k=1．

点评：本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．同时考查了等差数列的定义，通项公式，和数列求和的方法．