Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1+lnx．
（Ⅰ）当a=b=-1时，求f（x）的单调递增区间和极值；
（Ⅱ）若f（x）在x=1，和x=

1

2

处取得极值．（1）求f（x）的解析式；（2）若在[

1

4

，2]上存在x₀，使得f（x₀）≤m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间，从而可得函数的极值；
（II）（1）根据f（x）在x=1，和x=

1

2

处取得极值，建立方程组，从而可得函数解析式；
（2）确定函数的极大值，从而可得函数的最值，即可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=b=-1时，f′(x)=-2x-1+

1

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

…（2分）
由于x＞0，由f′（x）＞0即

(2x-1)(x+1)

x

＜0，可得0＜x＜

1

2

∴f（x）的单调递增区间为(0，

1

2

)，
又函数的单调减区间是（

1

2

，+∞）（4分）
∴f(x)极大值=f(

1

2

)=

1

4

-ln2，f（x）无极小值…（6分）
（Ⅱ）（1）f′（x）=

2ax2+bx+1

x

…（7分）
∵f（x）在x=1，和x=

1

2

处取得极值
∴f′(1)=f′(

1

2

)=0…（8分）
∴

2a+b+1=0 a+b+2=0

∴a=1，b=-3
∴f（x）的解析式是f（x）=x²-3x+1+lnx…（9分）
（2）由（1）得f′(x)=

(2x-1)(x+1)

x

．
∴当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f′（x）＞0，故f（x）在[

1

4

，

1

2

]单调递增．
x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

2

，1]单调递减
x∈[1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增…（11分）
∴f(x)极大值=f(

1

2

)=

1

4

-ln2…（12分）
而f（2）=-1+in2
∵f(2)-f(

1

2

)=-

3

4

+ln4＞0
∴f（x）_max=-1+ln2，…（13分）
∴m≥-1+ln2…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．