[题目]已知点.动点到直线的距离与动点到点的距离之比为.(1)求动点的轨迹的方程,(2)过点作任一直线交曲线于.两点.过点作的垂线交直线于点.求证:平分线段. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知点，动点到直线的距离与动点到点的距离之比为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作任一直线交曲线于，两点，过点作的垂线交直线于点，求证：平分线段.

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）由动点到直线的距离与动点到点的距离之比为，列出方程，即可求解；

（2）设的直线方程为，得的直线方程为，分别与直线和椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系求得，的坐标，将点坐标代入直线的方程，即可得到结论．

（1）设，由动点到直线的距离与动点到点的距离之比为，

则，化简得.

（2）设的直线方程为，则的直线方程为，

联立，解得，∴直线的方程为，

联立得，

设，，则，

设的中点为，则，

∴，∴，

将点坐标代入直线的方程，

∴点在直线上，∴平分线段.

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