Question

（本题满分12分）
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）e==；（Ⅱ）。

试题分析：（Ⅰ）设，，
由勾股定理可得：            
得：，，
由倍角公式，解得,则离心率．
（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立
将，代入，
化简有 

将数值代入，有,解得 
故所求的双曲线方程为．
解法二:解:（Ⅰ）设双曲线方程为(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则c²=a²+b²
不妨设l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0

则         ，

因为²+²=²，且=2-，
所以²+²=(2-)²，
于是得tan∠AOB=。
又与同向，故∠AOF=∠AOB，
所以       
解得        tan∠AOF=，或tan∠AOF=-2（舍去）。
因此       
所以双曲线的离心率e==
（Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为
x²-4y²=4b²                               ①
由l₁的斜率为，c=b知，直线AB的方程为
y=-2(x-b)                             ②
将②代入①并化简，得
15x²-32bx+84b²=0
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，则
x₁+x₂=，x₁·x₂=               ③
AB被双曲线所截得的线段长
l= ④
将③代入④，并化简得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6
所以双曲线的方程为
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理。弦长问题，往往利用弦长公式，通过整体代换，简化解题过程。