Question

下列函数中，满足f（x-y）=

f(x)

f(y)

的单调递减函数是（　　）

• A、f（x）=x³
• B、f（x）=x 

  1

  2

• C、f（x）=（

  1

  2

  ）^x
• D、f（x）=3^x

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：对选项一一加以判断，可先判断f（x-y）=

f(x)

f(y)

是否满足，再判断单调性，是否是单调递减函数，选出都复合要求的选项．

解答： 解：A：f（x-y）=（x-y）³，

f(x)

f(y)

=

x3

y3

=(

x

y

)3
∴f（x-y）≠

f(x)

f(y)

，故A错；
B：f（x-y）=（x-y） 

1

2

，

f(x)

f(y)

=

x 1 2

y 1 2

，∴f（x-y）≠

f(x)

f(y)

，故B错；
C：f（x-y）=（

1

2

）^x-y，

f(x)

f(y)

=

( 1 2 )x

( 1 2 )y

=(

1

2

)x-y，即f（x-y）=

f(x)

f(y)

又f（x）=（

1

2

）^x是递减函数，故C正确；
D：f（x-y）=3^x-y，

f(x)

f(y)

=

3x

3y

=3^x-y，即f（x-y）=

f(x)

f(y)

，
但f（x）是递增函数，故D错．
故选C．

点评：本题考查函数的单调性及运用，以及函数表达式的求法，和指数的运算法则，属于基础题．