Question

已知函数f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的两个极值点x₁，x₂，且x₁，x₂分别是一个椭圆和一个双曲线的离心率，点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=a^x+4-7（a＞1）的图象存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、[1，2]
• D、（1，2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，可得方程x²+mx+

1

2

（m+n）=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞），从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=a^x+4-7（a＞1）的图象存在区域D内的，可求实数a的取值范围．

解答： 解：求导函数可得y'=x²+mx+

1

2

（m+n），
依题意知，方程y'=0有两个根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
构造函数f（x）=x²+mx+

1

2

（m+n），
∴

f(0)＞0 f(1)＜0

，∴

m+n＞0 2+3m+n＜0

，
∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（-1，1）
∴要使函数y=a^x+4-7（a＞1）的图象存在区域D内的点，则必须满足1＜a^-1+4-7，
∴a³＜8，解得a＞2，
故选A．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，属于中档题．