Question

19．设A={x|ax-2＞0}，B={x|x²-4x+3＞0}．
（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；
（2）若A∩∁_RB≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出不等式x²-4x+3＞0的解集B，由A∩B=A得A⊆B，对a进行分类讨论，分别根据集合间的包含关系求出a的取值范围，最后再并在一起；
（2）由补集的运算求出∁_RB，对a进行分类讨论，分别根据A∩∁_RB≠∅求出a的取值范围，最后再并在一起．

解答 解：（1）由x²-4x+3＞0，得x＜1或x＞3，所以B={x|x＜1或x＞3}．
因为A∩B=A，所以A⊆B，
当a=0时，A=∅，满足题意；
当a＞0时，$A=\left\{{\left.x\right|x＞\frac{2}{a}}\right\}$，所以$\frac{2}{a}≥3$，解得$a≤\frac{2}{3}$，所以$0＜a≤\frac{2}{3}$；
当a＜0时，$A=\left\{{\left.x\right|x＜\frac{2}{a}}\right\}$，显然满足A⊆B
综上：a的取值范围是$（-∞，\frac{2}{3}]$；
（2）由（1）得，C_RB={x|1≤x≤3}，且A∩∁_RB≠∅，
当a=0时，A=∅，不满足题意；
当a＞0时，$A=\left\{{\left.x\right|x＞\frac{2}{a}}\right\}$，所以$\frac{2}{a}＜3$，解得$a＞\frac{2}{3}$；
当a＜0时，$A=\left\{{\left.x\right|x＜\frac{2}{a}}\right\}$，显然不满足A∩∁_RB≠∅，
综上可得，a的取值范围是$（{\frac{2}{3}，+∞}）$．

点评 本题考查集合的混合运算，集合间的包含关系的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．