Question

已知抛物线C₁：x²=2y的焦点为F，以F为圆心的圆C₂交C₁于A，B两点，交C₁的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C₂的方程为（　　）

• A、x²+（y-1）²=12
• B、x²+（y-1）²=16
• C、x²+（y-

  1

  2

  ）²=3
• D、x²+（y-

  1

  2

  ）²=4

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意知，圆C₂的圆心坐标为F（0，

1

2

），且点F为该矩形ABCD的两条对角线的交点，利用点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等可求得直线AB的方程为：y=

3

2

，从而可求得A点坐标，从而可求得圆C₂的半径，于是可得答案．

解答： 解：依题意，抛物线C₁：x²=2y的焦点为F（0，

1

2

），
∴圆C₂的圆心坐标为F（0，

1

2

），
∵四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F（0，

1

2

）为圆C₂的圆心，
∴点F为该矩形的两条对角线的交点，
∴点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等，
又点F到直线CD的距离d=1，
∴直线AB的方程为：y=

3

2

，
∴A（

3

，

3

2

），
∴圆C₂的半径r=|AF|=

( 3 -0)2+( 3 2 - 1 2 )2

=2，
∴圆C₂的方程为：x²+（y-

1

2

）²=4，
故选：D．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F为该矩形ABCD的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于中档题．