Question

一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B，C两点，EF∥AB，GH∥CD且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m．
（1）若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P，设∠CMN=θ，若θ=

π

4

，试求出木棒MN的长度a；
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，请问木棒长度能否大于a，并说明理由．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）如设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD的垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W，在Rt△NWS中，由WN和θ表示出NS，因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，进而在Rt△QPS中分别表示出QS，QT-QS，然后对S在TG上，和在线段GT的延长线上，分类讨论，分别表示出MN．
（2）设sinθ+cosθ=t，继而利用三角函数基本关系，表示出设sinθcosθ，f（θ）转换为f（t），进而函数的单调性求得函数的最小值．

解答： 解：（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD的垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W，在Rt△NWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，所以NS=

2

cosθ

，
因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，在Rt△QPS中，因为PQ=1，∠PQS=θ，所以QS=

1

cosθ

，QT-QS=2-

1

cosθ

，
①S在线段TG上，则TS=QT-QS，
在Rt△STM中，MS=

TS

sinθ

=

QT-QS

sinθ

，
因此MN=NS+MS=NS+

QT-QS

sinθ

．
②若S在线段GT的延长线上，则TS=QS-QT，在Rt△STM中，
MS=

TS

sinθ

=

QT-QS

sinθ

，因此MN=NS-MS=NS-

QS-QT

sinθ

=NS+

QT-QS

sinθ

，
f（θ）=MN=NS+

QT-QS

sinθ

=

2

cosθ

+（

2

sinθ

-

1

sinθcosθ

）=

2sinθ+2cosθ-1

sinθcosθ

（0＜θ＜

π

2

），
a=f（

π

4

）=

2( 2 2 + 2 2 )-1

2 2 × 2 2

=4

2

-2
（2）不能大于a．
设sinθ+cosθ=t（1＜t≤

2

）则sinθcosθ=

t2-1

2

，因此f（θ）=g（t）=

4t-2

t2-1

，
令m=4t-2（2＜m≤4

2

-2），则

4t-2

t2-1

=

16m

m2+4m-12

=

16

m- 12 m +4

，
当2＜m≤4

2

-2时，上式单调递减，所以g（t）_min=4

2

-2，即MN_min=4

2

-2．
所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为4

2

-2，即不能大于a．

点评：本题主要考查了解三角形问题的实际应用．考查了学生函数思想以及转化与化归的思想．