Question

17．下列说法正确的为④（只填序号）．
①若点P（a，2a）（a≠0）为角α终边上一点，则sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②同时满足sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角α有且只有一个；
③当|a|＜1时，tan（arcsinα）的值恒正；
④方程tan（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$的解集为{x|x=kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 ①根据三角函数的定义进行判断，
②根据三角函数的性质进行判断．
③根据反三角函数的性质进行判断，
④根据正切函数的性质进行求解判断即可．

解答 解：①若点P（a，2a）（a≠0）为角α终边上一点，则r=$\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$|a|，
则sinα=$\frac{2a}{\sqrt{5}|a|}$，若a＞0，得sinα=$\frac{2a}{\sqrt{5}|a|}$=$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
若a＜0，则sinα=$\frac{2a}{\sqrt{5}|a|}$=-$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故①错误；
②同时满足sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角α=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，有无数多个，故②错误；
③当|a|＜1时，arcsina∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），所以tan（arcsina）∈R，故③错误，
④方程tan（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，则x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{3}$，即x=kπ，即方程的解集为{x|x=kπ，k∈Z}．故②正确，
故答案为：④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的推理和运算能力．