Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： =1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P．若 = ，求直线l的斜率k．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为椭圆椭圆C： =1经过点（b，2e）所以 ．

因为e2= ，所以 ，

又∵a2=b2+c2， ，解得b2=4或b2=8（舍去）．

所以椭圆C的方程为

（2）

解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．

因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．

联立直线l与椭圆方程 ，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，

所以x1+x2= ，x1x2= ．

因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，

联立直线MN与椭圆方程

消去y得（2k2+1）x2=8，

解得x2=

因为MN∥l，所以

因为（1﹣x1）（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]= ．

（xM﹣xN）2=4x2= ．

所以 =

（3）

解：在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），

从而 ，

∵ = ， …①

由（2）知 …②

由①②得 50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣ （舍）．

又因为k＞0，所以k=

【解析】（1）由题意得e2= ， ．又a2=b2+c2 ， ，解得b2；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．设直线l的方程为y=k（x﹣1）．
联立直线l与椭圆方程 ，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，可设直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程 ，消去y得（2k2+1）x2=8，由MN∥l，得
由（1﹣x1）（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]= ．得（xM﹣xN）2=4x2= ．即可． （3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而 ，由 = 得 …①，由（2）知 …②由①②得 50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．