Question

8．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=4t+a\end{array}\right.（{t为参数}）（{a∈R}）$，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-4sinθ．
（1）将直线l的参数方程化为普通方程，以及将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为$\sqrt{2}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化方法，即可得出结论；
（2）当圆心到直线l的距离为$\sqrt{2}$时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为$\sqrt{2}$，即可求实数a的值．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=4t+a\end{array}\right.（{t为参数}）（{a∈R}）$得x-y+a=0即为直线l的普通方程；
将ρ=4cosθ-4sinθ等号左右两边同乘以ρ得：ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
再由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y得x²+y²-4x+4y=0（x-2）²+（y+2）²=8，即为圆C的直角坐标方程；
（2）因为圆C的半径为$2\sqrt{2}$，故当圆心到直线l的距离为$\sqrt{2}$时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为$\sqrt{2}$；
所以圆心（2，-2）到直线x-y+a=0的距离为$\sqrt{2}$，即$\frac{{|{2+2+a}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，所以a=-6或a=-2．

点评 本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．