Question

若给定椭圆C：ax²+by²=1(a>0,b>0,ab)和点N(x₀,y₀)，则称直线l：ax₀x+by₀y=1为椭圆C的“伴随直线”，
(1)若N(x₀,y₀)在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交)，并说明理由；
(2)命题：“若点N(x₀,y₀)在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交.”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
(3)若N(x₀,y₀)在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点(异于A、B)，设，，问是否为定值？说明理由.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析(3) 见解析

(1)
即ax²–2ax₀x+ax₀²=0
∴△=4a²x₀²–4a²x₀²=0
∴l与椭圆C相切.           (0.34)
(2)逆命题：若直线l：ax₀x+by₀y=1与椭圆C相交，则点N(x₀,y₀)在椭圆C的外部.
是真命题。联立方程得(aby02+a2x02)x2–2ax0x+1–by02=0
则△=4a2x02–4a(by02+ax02)(1–by02)>0
∴ax02–by02+b2y04–ax02+abx02y02>0
∴by02+ax02>1
∴N(x0,y0)在椭圆C的外部.  (0.75)
(3)同理可得此时l与椭圆相离，设M(x1,y1)，A(x,y)
则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，
即ax0x1+by0y1=1，整理得(ax02+by02–1)12+ax12+by12–1=0
同理得关于2的方程，类似.
即1、2是(ax02+by02–1)2+ax12+by12–1=0的两根
∴