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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx是R上的奇函数,且f(1)=2,f(2)=10,
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在R上是增函数;
(3)若关于x的不等式f(x2-4)+f(kx+2k)<0在x∈(0,1)上恒成立,求k的取值范围.
分析:(1)由“函数f(x)是奇函数”求或找到a,b,c的关系,再结合f(1)=2,f(2)=10求解.
(2)要求用定义,则先在给定的区间任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号.
(3)利用奇函数将“不等式f(x2-4)+f(kx+2k)<0,在x∈(0,1)上恒成立”转化为“f(x2-4)<f(-kx-2k)
在x∈(0,1)上恒成立”再由增函数的定义转化为“x2+kx+2k-4<0在(0,1)上恒成立”求解.
解答:解:(1)∵函数f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)即-ax3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx
∴2bx2=0对于任意x都成立
即b=0
f(1)=2,f(2)=10  
a+c=2
8a+2c=10
解得a=c=1

∴函数的解析式是f(x)=x3+x    5分
(2)证明:设x1,x2是R上的任意两个不相等的实数,且x1<x2
则△y=f(x2)-f(x1)=x23+x2-x13-x1=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)+(x2-x1
=(x2-x1)(
x
2
2
+
x
 
1
x2+
x
2
1
+1)=(x2-x1)[(x2+
x
 
1
2
)2+
3
x
2
1
4
+1]

∵x2-x1>0,(x2+
x
 
1
2
)2+
3
x
2
1
4
+1>0
∴△y>0
∴函数f(x)在R上是增函数 (10分)
(3)∵f(x2-4)+f(kx+2k)<0
∴f(x2-4)<-f(kx+2k)=f(-kx-2k)
又因为f(x)是增函数,即x2-4<-kx-2k
∴x2+kx+2k-4<0在(0,1)上恒成立.(12分)
法(一)令g(x)=x2+kx+2k-4,x∈(0,1)
g(0)=2k-4≤0
g(1)=3k-3≤0
  解得k≤1

∴k的取值范围是(-∞,1]14分
法(二)上式可化为k(x+2)<4-x2
∵x∈(0,1)即x+2>0∴k<
4-x2
x+2
=2-x

令U(x)=2-x,x∈(0,1)
∵U(x)=2-x在(0,1)上是减函数
∴U(x)<1即k≤1.(14分)
点评:本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式,应用单调性定义来证明函数的单调性,还考查了综合运用奇偶性和单调性来解不等式的能力.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
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34
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