Question

已知函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*）且a₁，a₂，…，a_n构成一个数列，又f（1）=n²
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）比较f（

1

3

）与1的大小．

Answer 1

（1）f（1）=n²
得出a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²  ①
当n≥2时a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²  ②
①-②得a_n=n²-（n-1）²=2n-1
又在①中令n=1得出a₁=1，也适合上式
所以数列{a_n} 的通项公式a_n=2n-1．
（2）f（

1

3

）=（

1

3

）+3（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ，
两边都乘以

1

3

，可得

1

3

f（

1

3

）=（

1

3

）²+3（

1

3

）³+5（

1

3

）⁴+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹，
两式相减，得

2

3

f（

1

3

）=（

1

3

）+2（

1

3

）²+2（

1

3

）³+…+2（

1

3

）ⁿ…-（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹，
=

1

3

+

2 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹，
=

2

3

-(

1

3

)n•

2n+2

3

则f（

1

3

）=1-(

1

3

)n•(n+1)＜1