如果项数均为的两个数列满足且集合,则称数列是一对“项相关数列”.
(Ⅰ)设是一对“4项相关数列”,求和的值,并写出一对“项相
关数列”;
(Ⅱ)是否存在“项相关数列”?若存在,试写出一对;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)对于确定的,若存在“项相关数列”,试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对.
(Ⅰ);;:8,4,6,5;:7,2,3,1;(Ⅱ)不存在,理由见解析;(Ⅲ)证明见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)依题意有,,以及,求得以及的值,写出符合条件的数列即可,答案不唯一;(Ⅱ)先假设存在,利用反证法证明得出矛盾,即可证明满足已知条件的“10项相关数列”不存在.依题意有,以及成立,解出与已知矛盾,即证;(Ⅲ)对于确定的,任取一对“项相关数列”,构造新数对,
,则可证明新数对也是“项相关数列”,但是数列与是不同的数列,可知“项相关数列”都是成对对应出现的,即符合条件的 “项相关数列”有偶数对.
试题解析:(Ⅰ)依题意,,相加得,
,又,
则,.
“4项相关数列”:8,4,6,5;:7,2,3,1(不唯一)3分
(Ⅱ)不存在.
理由如下:假设存在 “15项相关数列”,
则,相加,得
又由已知,由此
,显然不可能,所以假设不成立。
从而不存在 “15项相关数列” 7分
(Ⅲ)对于确定的,任取一对 “项相关数列”,
令,,
先证也必为 “项相关数列” .
因为
又因为,很显然有:
所以也必为 “项相关数列”.
再证数列与是不同的数列.
假设与相同,则的第二项,又,则,即,显然矛盾.
从而,符合条件的“项相关数列”有偶数对. 13分
考点:1.等差数列的前项和公式;2.反证法及其应用
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列中,且点在直线上。
(1)求数列的通项公式;
(2)若函数求函数的最小值;
(3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得
对于一切不小于2的自然数恒成立?若存在,写出的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设数列的各项均为正实数,,若数列满足,,其中为正常数,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在正整数,使得当时,恒成立?若存在,求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值;若不存在,请说明理由;
(3)若,设数列对任意的,都有成立,问数列是不是等比数列?若是,请求出其通项公式;若不是,请说明理由.
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