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如果项数均为的两个数列满足且集合,则称数列是一对“项相关数列”.
(Ⅰ)设是一对“4项相关数列”,求的值,并写出一对“项相
关数列”
(Ⅱ)是否存在“项相关数列”?若存在,试写出一对;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)对于确定的,若存在“项相关数列”,试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对.

(Ⅰ):8,4,6,5;:7,2,3,1;(Ⅱ)不存在,理由见解析;(Ⅲ)证明见解析.

解析试题分析:(Ⅰ)依题意有,,以及,求得以及的值,写出符合条件的数列即可,答案不唯一;(Ⅱ)先假设存在,利用反证法证明得出矛盾,即可证明满足已知条件的“10项相关数列”不存在.依题意有,以及成立,解出与已知矛盾,即证;(Ⅲ)对于确定的,任取一对“项相关数列”,构造新数对
,则可证明新数对也是“项相关数列”,但是数列是不同的数列,可知“项相关数列”都是成对对应出现的,即符合条件的 “项相关数列”有偶数对.
试题解析:(Ⅰ)依题意,,相加得,
,又
.
“4项相关数列”:8,4,6,5;:7,2,3,1(不唯一)3分
(Ⅱ)不存在.
理由如下:假设存在 “15项相关数列”
,相加,得

又由已知,由此
,显然不可能,所以假设不成立。
从而不存在 “15项相关数列”               7分
(Ⅲ)对于确定的,任取一对 “项相关数列”

先证也必为 “项相关数列” .
因为
又因为,很显然有:
所以也必为 “项相关数列”.
再证数列是不同的数列.
假设相同,则的第二项,又,则,即,显然矛盾.
从而,符合条件的“项相关数列”有偶数对.            13分
考点:1.等差数列的前项和公式;2.反证法及其应用

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