Question

设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？

Answer 1

（1）曲线方程是
（2）当运动时，弦长为定值4

（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线………………………………2分
　　　　∵     ∴　
∴　曲线方程是………4分
（2）设圆的圆心为，∵圆过，
∴圆的方程为　　……………………………7分
令得：　　
设圆与轴的两交点分别为，
方法1：不妨设，由求根公式得
，…………………………10分
∴
又∵点在抛物线上，∴，
∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分
∴当运动时，弦长为定值4…………………………………………………14分
　〔方法2：∵，　
∴
　又∵点在抛物线上，∴，∴　　
∴当运动时，弦长为定值4〕