Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=A₁A₁=a，Ab=2a，
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证MN∥面ADD₁A₁，取CD的中点K，连接MK，NK，只需证面MNK∥面ADD₁A₁，根据面面平行的判定定理可知只需在一个平面内找两相交直线与另一平面平行，MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁，MN∩NK=N，满足定理条件．
（Ⅱ）设F为AD的中点，作FH⊥AE，交AE于H，连接PH，根据二面角的平面角的定义可知∠PHF为二面角P-AE-D的平面角，在Rt△PFH中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连接MK，NK
∵M，N，K分别为AK，CD₁，CD的中点
∵MK∥AD，NK∥DD₁
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁
∴面MNK∥面ADD₁A₁
∴MN∥面ADD₁A₁
（Ⅱ）设F为AD的中点
∵P为A₁D₁的中点∴PF∥DD₁
∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，连接PH，则由三垂线定理得AE⊥PH
从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角．
在Rt△AEF中，AF=

a

2

，EF=2a，AE=

17

2

a，从而FH=

AF•EF

AE

=

a 2 •2a

17 2 a

=

2a

17

在Rt△PFH中，tan∠PFH=

PF

FH

=

DD1

FH

=

17

2

故：二面角P-AE-D的大小为arctan

17

2

点评：本小题主要考查长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力．