Question

4．已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a），
（1）求导数f'（x）；
（2）若x=-1是函数f（x）的极值点，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的运算法则求出函数的导数即可；
（2）求出a的值，解故导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；
（3）根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f'（x）=3x²-2ax-4．
（2）由f'（-1）=0，得$a=\frac{1}{2}$，
所以$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2$，
f'（x）=3x²-x-4．
由f'（x）=0，得$x=\frac{4}{3}$或x=-1．
又$f（{\frac{4}{3}}）=-\frac{50}{27}$，$f（-1）=\frac{9}{2}$，f（-2）=0，f（2）=0，
∴f（x）在[-2，2]上的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为$-\frac{50}{27}$．
（3）f'（x）=3x²-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，
由条件得f'（-2）≥0，f'（2）≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}4a+8≥0\\ 8-4a≥0.\end{array}\right.$∴-2≤a≤2，
∴a的取值范围为[-2，2]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．