Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C：x²=4y与直线y=kx+a（a＞0）交与M，N两点．
（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，利用导数的运算法则可得：y′=$\frac{x}{2}$，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．
（2）存在符合条件的点（0，-a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线PM，PN的斜率分别为：k₁，k₂．直线方程与抛物线方程联立化为x²-4kx-4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k₁+k₂=$\frac{k（a+b）}{a}$．k₁+k₂=0?直线PM，PN的倾斜角互补?∠OPM=∠OPN．即可证明．

解答 解：（1）联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，可得$M（2\sqrt{a}，a）$，$N（-2\sqrt{2}，a）$，或$M（-2\sqrt{2}，a）$，$N（2\sqrt{a}，a）$．
∵$y'=\frac{1}{2}x$，故$y=\frac{x^2}{4}$在x=$2\sqrt{2}a$处的到数值为$\sqrt{a}$，
C在$（2\sqrt{2}a，a）$处的切线方程为$y-a=\sqrt{a}（x-2\sqrt{a}）$，即$\sqrt{a}x-y-a=0$．
故$y=\frac{x^2}{4}$在x=-$2\sqrt{2}a$处的导数值为-$\sqrt{a}$，
C在$（-2\sqrt{2}a，a）$处的切线方程为$y-a=-\sqrt{a}（x+2\sqrt{a}）$，即$\sqrt{a}x+y+a=0$．
故所求切线方程为$\sqrt{a}x-y-a=0$或$\sqrt{a}x+y+a=0$．
（2）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂．
将y=kx+a代入C得方程整理得x²-4kx-4a=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a．
∴${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-b}}{x_1}+\frac{{{y_2}-b}}{x_2}$=$\frac{{2k{x_1}{x_2}+（a-b）（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{k（a+b）}{a}$．
当b=-a时，有k₁+k₂=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以P（0，-a）符合题意．

点评 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．