Question

7．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足4S_n=a_n+1²-4n-1，n∈N^*，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式可得a_n+1=a_n+2（n≥2），求得a₂，验证a₂-a₁=2，说明数列{a_n}是等差数列，则通项公式可求；
（2）把数列的通项公式代入不等式左边，然后利用裂项相消法证得答案．

解答 （1）解：由4S_n=a_n+1²-4n-1，
得$4{S}_{n-1}={{a}_{n}}^{2}-4（n-1）-1$，两式作差得$4{a}_{n}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}-4$，
则${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4=（{a}_{n}+2）^{2}$，∵a_n＞0，
∴a_n+1=a_n+2（n≥2），
由a₁=1，4S_n=a_n+1²-4n-1，得a₂=3，满足a₂-a₁=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．