Question

已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图及直观图如图所示，根据图中所给数据，解答下列问题：

（1）求证：C1B⊥平面ABC；

（2）试在棱CC1（不包含端点C、C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；

（3）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）E为CC1中点；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明C1B⊥平面ABC；（2）根据线面垂直的性质，结合直角三角形的边长关系即可确定E的位置；（3）根据三棱柱ABC－A1B1C1的体积公式即可得到结论．

试题解析：（1）由三视图可知，AB⊥侧面BB1C1C，所以AB⊥BC1，

又BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝

在△BCC1中，由余弦定理得BC1＝，故有BC2＋BC12＝CC12，

所以C1BBC

而BC∩AB＝B，且AB，BC平面ABC

所以C1B⊥平面ABC.

（2）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE

从而B1E⊥平面ABE

且BE平面ABE，故BE⊥EB1，

不妨设CE＝x，则C1E＝2－x

则BE2＝1＋x2－x

又因为∠B1C1C＝，

则B1E2＝x2－5x＋7

在Rt△BEB1中，有（x2－5x＋7）＋（1＋x2－x）＝4

解得x＝1或x＝2（舍去）

故E为CC1的中点时，EA⊥EB1.

（3）由已知可得S△ABC＝AB·BC＝×1×＝

又由（1）知C1B⊥平面ABC，且C1B＝

所以三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·C1B＝

（或利用V＝3VA－CBC1计算体积也可）

考点：空间线面关系，棱柱的体积