Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{xsinθ}$+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π）．
（Ⅰ）求函数f（x）在其定义域内的极值；
（Ⅱ）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得kx₀-f（x₀）＞$\frac{2e}{{x}_{0}}$成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出θ的值，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（Ⅱ）构造F（x）=kx-$\frac{1}{x}$-lnx-$\frac{2e}{x}$=kx-$\frac{1+2e}{x}$-lnx，转化为：若在[1，e]上存在x₁，使得F（x₀）＞0，求实数k的取值范围，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-$\frac{1}{sinθ{•x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即$\frac{sinθ•x-1}{sinθ{•x}^{2}}$≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，又0＜sinθ≤1只有sinθ=1得θ=$\frac{π}{2}$，
由f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=0，解得：x=1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故f（x）_极小值=f（1）=1，无极大值；
（Ⅱ）构造F（x）=kx-$\frac{1}{x}$-lnx-$\frac{2e}{x}$=kx-$\frac{1+2e}{x}$-lnx，
则转化为：若在[1，e]上存在x₁，使得F（x₀）＞0，求实数k的取值范围，
①当k≤0时，x∈[1，e]，F（x）＜0在[1，e]恒成立，
∴在[1，e]上不存在x₀，使得kx₀-f（x₀）＞$\frac{2e}{{x}_{0}}$成立．
②当k＞0时，F′（x）=k+$\frac{1+2e}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{kx}^{2}+1+e+（e-x）}{{x}^{2}}$，
∵x∈（1，e），∴e-x＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e）恒成立，
故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）_max=F（e）=ke-$\frac{1}{e}$-3，
只要ke-$\frac{1}{e}$-3＞0，
解得k＞$\frac{3e+1}{{e}^{2}}$．
综上，k的取值范围是（$\frac{3e+1}{{e}^{2}}$，+∞）．

点评 本题考查角的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．