Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x₁，x₂，…，x_n，…（n∈N^*）．若a∈（1，3），则x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=

 

．（用n表示）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合确定零点的取值关系，利用数列求和的公式即可得到结论．

解答： 解：由①当x∈[1，3）时，f(x)=1-|x-2|=

x-1(1≤x＜2) 3-x(2≤x＜3)

，
可画出f（x）在[1，3）上的图象，根据②f（3x）=3f（x），只要将f（x）在[1，3）上的图象沿x轴伸长到原来的3倍，
再沿y轴伸长到原来的3倍即可得到f（x）在[3，9）上的图象，
以此类推，可得到在[9，27），[27，81）…上的图象，
关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点，可看成函数y=f（x）与y=a图象交点的横坐标，由函数y=f（x）图象的对称性可知：

x1+x2

2

=6，

x3+x4

2

=6×3，

x5+x6

2

=6×32，…如图，
所以就有

1

2

(x1+x2+…+x2n-1+x2n)=6+6×3+6×32+…+6×3n-1=

6(1-3n)

1-3

=3(3n-1)，
因此x1+x2+…+x2n-1+x2n=6(3n-1)

点评：本题主要考查函数图象与性质及等比数列求和．综合性较强难度较大，利用数形结合是解决本题的关键．