Question

设函数f（x）的图象关于y轴对称，又已知f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，则不等式

f(-x)+f(x)

x

＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由条件可知f（x）是偶函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）是偶函数，则不等式

f(-x)+f(x)

x

＜0等价为

2f(x)

x

＜0，
∵f（1）=0，∴f（-1）=f（1）=0，
当x＞0时，不等式

2f(x)

x

＜0等价为f（x）＜0，即f（x）＜f（1），
∵在（0，+∞）内是减函数，∴在（-∞，0）内也是减函数，
∴不等式f（x）＜f（1）的解为x＞1，
当x＜0时，不等式

2f(x)

x

＜0等价为f（x）＞0，即f（x）＞f（-1），
∵在（-∞，0）内是减函数，
∴不等式f（x）＞f（-1）的解为x＜-1，
综上不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）

点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数的奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化是解决本题的关键．