Question

利用定义判断函数f（x）=x+

x2+1

在区间（-∞，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：可设x₁＜x₂，已知函数的解析式，利用定义法进行求解；

解答： 解：∵f（x）=x+

x2+1

在区间（-∞，+∞）上，可以设x₁＜x₂
可得f（x₁）-f（x₂）=x₁+

x12+1

 -（x₂+

x22+1

）=（x₁-x₂）+（

x12+1

 -

x22+1

）=（x₁-x₂）-

(x2-x1)(x2+x1)

x22+1 + x12+1

=（x₁-x₂）（1+

x2+x1

x22+1 + x12+1

），
∵1+

x2+x1

x22+1 + x12+1

＞1+

x2+x1

x12 + x22

＞1+1=2，
又∵x₁＜x₂，x₁-x₂＜0，
∴（x₁-x₂）（1+

x2+x1

x22+1 + x12+1

）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数，
同故函数f（x）=x+

x2+1

在区间（-∞，+∞）上为增函数

点评：本题主要考查函数的单调性的判断与证明，是一道基础题，考查的知识点比较单一；