Question

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是A₁B₁的中点．
（1）求证：A₁C∥平面BDC₁；
（2）若AB⊥AC，且AB=AC=$\frac{2}{3}$AA₁，求二面角A-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点E，连结A₁E，CE，DE，推导出A₁E∥BD，CE∥C₁D，从而平面A₁CE∥平面BDC₁，由此能证明A₁C∥平面BDC₁．
（2）法一：延长BD至F，连结A₁F，使得A₁F⊥DF，连结C₁F，推导出∠A₁FC₁是所求二面角的平面角，由此能求出二面角A-BD-C₁的余弦值．
（2）法二：以A₁为坐标原点，建立如图所求的空间直角坐标系A₁-xyz，利用向量法能求出二面角A-BD-C₁的余弦值．

解答 证明：（1）取AB的中点E，连结A₁E，CE，DE，
在四边形A₁EBD是平行四边形，即A₁E∥BD，
同理，四边形CC₁DE是平行四边形，即CE∥C₁D，
又A₁E∩CE=E，∴平面A₁CE∥平面BDC₁，
∵A₁C?平面A₁CE，∴A₁C∥平面BDC₁．
解：（2）法一：延长BD至F，连结A₁F，使得A₁F⊥DF，连结C₁F，
∵AB⊥AC，∴A₁B⊥A₁C，
又A₁C₁⊥AA₁，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴∠A₁FC₁是所求二面角的平面角，
设AB=2，又AB=AC=$\frac{2}{3}A{A}_{1}$，∴A₁D=1，AA₁=3，∴BD=$\sqrt{10}$，
∵△A₁DF∽△BDB₁，∴$\frac{{A}_{1}D}{BD}=\frac{{A}_{1}F}{B{B}_{1}}$，∴A₁F=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∵A₁C₁=2，∴${C}_{1}F=\frac{7}{\sqrt{10}}$，
∴cos∠A₁FC₁=$\frac{{A}_{1}F}{{C}_{1}F}$=$\frac{3}{7}$．∴二面角A-BD-C₁的余弦值为$\frac{3}{7}$．
（2）法二：棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，A₁B₁⊥A₁C₁，
∴A₁B₁，A₁C₁，AA₁两两垂直，
以A₁为坐标原点，建立如图所求的空间直角坐标系A₁-xyz，
设AB=2，则B（3，2，0），D（0，1，0），C₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{DB}$=（3，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，-1，2），
设平面BDC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=3x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=-y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=6，得$\overrightarrow{n}$=（-2，6，3），
∵平面AA₁DB的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{7}$，
由图知二面角A-BD-C₁的平面角为多姿多彩锐角，
∴二面角A-BD-C₁的余弦值为$\frac{3}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．