Question

9．已知x＞0，y＞0且满足$\frac{9x}{y}$+$\frac{4y}{x}$≥a²+a恒成立，则实数a的取值范围是[-4，3]．

Answer 1

分析 由恒成立思想可得a²+a≤$\frac{9x}{y}$+$\frac{4y}{x}$的最小值，运用基本不等式可得右边的最小值，再由二次不等式的解法，可得a的范围．

解答 解：x＞0，y＞0，可得$\frac{9x}{y}$+$\frac{4y}{x}$≥2$\sqrt{\frac{9x}{y}•\frac{4y}{x}}$=12，
当且仅当3x=2y，取得最小值12，
由$\frac{9x}{y}$+$\frac{4y}{x}$≥a²+a恒成立，可得
a²+a≤12，解得-4≤a≤3．
故答案为：[-4，3]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求最值问题，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．