Question

【题目】已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y﹣2=0，在直线l上求一点P．
（1）使|PA|+|PB|最小；
（2）使|PA|﹣|PB|最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）．

则有 +2 ﹣2=0， （﹣ ）=﹣1．

解得

x1=﹣ ，

y1=﹣ ．

由两点式求得直线A1B的方程为y= （x﹣4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（ ，﹣ ）．

由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小

（2）解：由两点式求得直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣4），即x+y﹣5=0．

直线AB与l的交点可求得为P（8，﹣3），它使|PA|﹣|PB|最大

【解析】先判断A、B与直线l：x+2y﹣2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y﹣2，看符号相同在同侧，相反异侧．（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P； 如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可．（2）使|PA|﹣|PB|最大．如果A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可；
如果A、B在l的异侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用两点式方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直线的两点式方程：已知两点其中则：y-y1/y-y2=x-x1/x-x2．