Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）直线为曲线在处的切线，求实数；

（Ⅱ）若，证明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）． （Ⅱ） .

【解析】试题分析：

(1)由导函数与切线之间的关系可得;

(2)原不等式等价于即证： ， 设，结合构造出的函数的性质可得.

试题解析：

（Ⅰ）解法一：由已知得，所以切点坐标

又，得，

，所以．

（Ⅱ）即证： ，即证： ，

因为，即证： ，

设， ，令

（i）当时， ， 单调递增， ， 单调递增，

，满足题意；

（ii）当时， ，解得，

当， ， 单调递减，

当， ， 单调递增，

此时，

因为， ，即， 单调递增， ，满足题意；

综上可得，当时， ．

解法二: （Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ）即证： ，即证： ，

因为，即证： ，

因为，即证，

令， ， ， 单调递增， ，

单调递增， ．

所以，故原不等式得证．

点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．