Question

【题目】△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件： ⑴（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab
⑵sinA=2cosBsinC
⑶b=acosC，c=acosB
⑷
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙
【解析】解：由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：

证明：由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，变形得：

a2+b2+2ab﹣c2=3ab，即a2+b2﹣c2=ab，

则cosC= = ，又C为三角形的内角，

∴C=60°，

又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，

即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，

∵﹣π＜B﹣C＜π，

∴B﹣C=0，即B=C，

则A=B=C=60°，

∴△ABC是等边三角形；

以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：

证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，

即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，

∵﹣π＜B﹣C＜π，

∴B﹣C=0，即B=C，

∴b=c，

由正弦定理 = = =2R得：

sinA= ，sinB= ，sinC= ，

代入 得：

2R（ ﹣ ）=（ a﹣b） ，

整理得：a2﹣b2= ab﹣b2，即a2= ab，

∴a= b，

∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，

∴a2=b2+c2，

∴∠A=90°，

则三角形为等腰直角三角形；

以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：

证明：由正弦定理 = = =2R得：

sinA= ，sinB= ，sinC= ，

代入 得：

2R（ ﹣ ）=（ a﹣b） ，

整理得：a2﹣b2= ab﹣b2，即a2= ab，

∴a= b，

∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，

∴a2=b2+c2，

∴∠A=90°，

又b=acosC，c=acosB，

根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，

∴ = ，即sinBcosB=sinCcosC，

∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，

∴2B=2C，即B=C，

则三角形为等腰直角三角形．

所以答案是：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙

【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义，掌握正弦定理:即可以解答此题．