Question

8．设点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上异于长轴端点的一个动点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且F₁M⊥MP，则|$\overrightarrow{OM}$|的取值范围是[0，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 可设P在第一象限，延长PF₂，延长F₁M交于N，由PM为∠F₁PF₂的平分线，且F₁M⊥MP，可得△F₁PN为等腰三角形，再由中位线定理可得|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF₂|，运用椭圆的定义和性质：椭圆上的点与焦点的距离的最值，即可得到所求|$\overrightarrow{OM}$|的取值范围．

解答 解：不妨设P在第一象限，延长PF₂，延长F₁M交于N，
由PM为∠F₁PF₂的平分线，且F₁M⊥MP，
可得△F₁PN为等腰三角形，即有|PF₁|=|PN|，
由中位线定理可得|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF₂|），
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
即有|OM|=$\frac{1}{2}$（4-2|PF₂|）=2-|PF₂|，
由|PF₂|＞a-c=2-$\sqrt{3}$，可得|OM|＜$\sqrt{3}$，
由P为短轴的端点时，|PF₂|=a=2，|OM|=0，
则|$\overrightarrow{OM}$|的取值范围是[0，$\sqrt{3}$）．
故答案为：[0，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查椭圆的定义和性质，注意运用椭圆上的点与焦点的距离的最值，考查等腰三角形的性质和中位线定理，考查运算能力，属于中档题．