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已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）讨论y=f（x）的单调性；（2）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有不等式 $数学公式$ 成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凹函数”．
试证明：当a=-1时， $数学公式$ 为“凹函数”．

解：（1）当a=0时，函数f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函数； …（1分）
由已知，x∈（0，+∞）， $\text{[math]}$ ，…（3分）
当a＞0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数； …（4分）
当a＜0时，解 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，解f'（x）＜0得 $\text{[math]}$ ，
所以函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数，在 $\text{[math]}$ 上是减函数．…（5分）
综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数，在 $\text{[math]}$ 上是减函数．
（2）当a=-1时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=-1，即f（x）＜0恒成立．
所以 $\text{[math]}$ ，x∈（0，+∞）．…（6分）
设x₁，x₂∈（0，+∞），
计算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…（8分） $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，…（10分）
所以 $\text{[math]}$ ，即当a=-1时， $\text{[math]}$ 为“凹函数”．
分析：（1）利用导数求函数的单调性，应注意函数的定义域，同时进行合理分类；（2）新定义关键是理解“凹函数”的定义，然后验证所求函数满足新定义．
点评：本题是一道创新型题，属于难度系数较大的题目．近几年的高考命题，由知识立意向能力立意转化，强化创新意识的考查，设计了一些“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性的解决问题”的创新题．

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， 2])
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