Question

已知函数y=1-

1

x+2

的图象按向量

m

=（2，1）平移后便得到函数f（x）的图象，数列{a_n}满足a_n=f（a_n+1）（n≥2，n∈N^Φ）．
（1）若a₁=

3

5

，数列{b_n}满足b_n=

1

an-1

，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若a₁=

3

5

，数列{a_n}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；
（3）若1＜a₁＜2，试证明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

Answer 1

考点：数列与向量的综合

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：（1）运用向量平移的规律可得f（x）的解析式，由等差数列的定义，即可得证；
（2）运用等差数列的通项公式，求出数列{b_n}的通项公式，再求数列{a_n}的通项，判断数列{a_n}的单调性，即可得到最值；
（3）运用数学归纳法证明1＜a_n＜2，注意n=k+1的证明，再由基本不等式即可证得a_n+1＜a_n．

解答： （1）证明：函数y=1-

1

x+2

的图象按向量

m

=（2，1）平移后可得
f（x）=1-

1

x-2+2

+1=2-

1

x

，则a_n=f（a_n-1）=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*）．
则b_n=

1

an-1

=

1

2- 1 an-1 -1

=

an-1

an-1-1

，b_n-1=

1

an-1-1

，
∴b_n-b_n-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1（n≥2，n∈N^*），
∴数列{b_n}是首项为b₁=

1

a1-1

=-

5

2

，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知，数列{b_n}的通项公式b_n=-

5

2

+n-1=n-

7

2

，
由b_n=

1

an-1

得a_n=1+

1

bn

=1+

1

n- 7 2

，故a_n=1+

2

2n-7

．
构造函数y=1+

2

2x-7

，则y′=-

4

(2x-7)2

＜0．
函数y=1+

2

2x-7

在区间（-∞，

7

2

），（

7

2

，+∞）上为减函数．
则当x＜

7

2

时，y=1+

2

2x-7

＜1，且在（-∞，

7

2

）上递减，故当n=3时，a_n取最小值a₃=-1；
当x＞

7

2

 时，y=1+

2

2x-7

＞1，且在（

7

2

，+∞）上递减，故当n=4时，a_n取最大值a₄=3．
故{a_n}中存在最大项a₄=3与最小项a₃=-1．
（3）证明：先用数学归纳法证明1＜a_n＜2，再证明a_n+1＜a_n．
①当n=1时，1＜a₁＜2成立，
②假设n=k时命题成立，即1＜a_k＜2，
则当n=k+1时，

1

2

＜

1

ak

＜1，a_k+1=2-

1

ak

∈（1，

3

2

），则1＜a_k+1＜2，
故当n=k+1时也成立．
综合①②有，命题对任意n∈N^*时成立，即1＜a_n＜2．下证a_n+1＜a_n．
由a_n+1-a_n=2-

1

an

-a_n=2-（a_n+

1

an

）＜2-2

an• 1 an

=0，则a_n+1＜a_n．
综上所述：1＜a_n+1＜a_n＜2．

点评：本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的单调性的运用，同时考查运用数学归纳法证明不等式，是一道综合性强的数列题，属于中档题．