Question

已知函数f（x）=4

3

sinxcosx-5sin²x-cos²x+3．
（Ⅰ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

b

a

=

3

，

sin(2A+C)

sinA

=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（I）利用平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出；
（II）利用两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4

3

sinxcosx-5sin²x-cos²x+3=2

3

sin2x-

5-5cos2x+1+cos2x

2

+3=2

3

sin2x+2cos2x=4sin（2x+

π

6

）．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴f（x）∈[-2，4]．
（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得 sinC=2sinA，
由正弦定理得：c=2a，
又b=

3

a，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=3a2+4a2-4

3

a2cosA，解得：cosA=

3

2

，
故解得：A=

π

6

，B=

π

3

，C=

π

2

，
∴f（B）=f（

π

3

）=4sin

5π

6

=2．

点评：本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．