Question

已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，它们的对边分别为a，b，c，且满足a：b=

2

：

3

，c=2．
（Ⅰ）求A，B，C；
（Ⅱ）求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由A，B，C三角成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，确定出A+C的度数，由a，b，sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，进而求出C的度数；
（Ⅱ）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sinC的值，再由sinA，sinB，以及c的值，利用正弦定理求出a与b的值，根据sinC，a，b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B，
又A+B+C=180°，
∴B=60°，A+C=120°，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

可知，

a

b

=

sinA

sinB

，
∵a：b=

2

：

3

，c=2，
∴

2

3

=

sinA

sin60°

，即sinA=

2

2

，
∵0°＜A＜120°，
∴A=45°，C=120°-A=75°．
综上，A=45°，B=60°，C=75°；
（Ⅱ）∵sinC=sin75°=sin（30°+45°）=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 + 2

4

，c=2，sinA=

2

2

，sinB=

3

2

，
∴由正弦定理得：

a

sin45°

=

b

sin60°

=

c

sinC

=

2

sin75°

，即

a

2 2

=

b

3 2

=

2

6 + 2 4

，
整理得：a=2

3

-2，b=3

2

-

6

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2（

3

-1）×2×

3

2

=3-

3

．

点评：此题考查了正弦定理，等差数列的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．