Question

19．已知正三棱锥A-BCD中，BC=3$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{6}$，则三棱锥外接球的表面积为32π．

Answer 1

分析 求出三棱锥底面外接圆的半径，然后求解外接球的半径，然后求解球的表面积．

解答 解：正三棱锥A-BCD中，BC=3$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{6}$，
底面BCD的外接圆的半径为：$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×3\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$，
三棱锥的高为：$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
设外接球的半径为：r，则：r²=$（\sqrt{6}）^{2}+（3\sqrt{2}-r）^{2}$．解得r=2$\sqrt{2}$
则三棱锥外接球的表面积为：4$π×（2\sqrt{2}）^{2}$=32π．
故答案为：32π．

点评 本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，求解外接球的半径是解题的关键，考查计算能力空间想象能力．