Question

【题目】已知(，且为常数).

(1)求的单调区间；

(2)若在区间内，存在且时，使不等式成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】 (1) 时，单调递增区间为，单调递减区间为;时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.(2)

【解析】

（1）先求导数，再根据正负分类讨论单调区间，（2）先根据单调性化简不等式，构造新函数，转化为研究新函数在区间上存在单调递减区间，利用导数研究新函数导数小于零有解，再利用变量分离法确定的取值范围.

(1)∵(且为常数)，∴，

∴①若时，当，；当时，，即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

②若时，当，；当时，，即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)由(1)知，在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，∴有解，即，∴有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴，故.