Question

3．已知函数f（x）=|log_0.5x|，若正实数m，n（m＜n）满足f（m）=f（n），且f（x）在区间[m²，n]上的最大值为4，则n-m=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{15}{4}$
• C． $\frac{63}{4}$
• D． $\frac{255}{16}$

Answer 1

分析 由已知和对数的性质可得0＜m＜1＜n，且mn=1，再由最大值为4可得m=$\frac{1}{4}$或n=16，分别解另一个值验证可得．

解答 解：∵f（x）=|log_0.5x|，正实数m，n（m＜n）满足f（m）=f（n），
∴0＜m＜1＜n，且|log_0.5m|=|log_0.5n|，∴log_0.5m=-log_0.5n，
∴log_0.5m+log_0.5n=0，解得mn=1，
又∵f（x）在区间[m²，n]上的最大值为4，
∴|log_0.5m²|=4或|log_0.5n|=4，即log_0.5m²=4或log_0.5n=-4，
解得m=$\frac{1}{4}$或n=16，当m=$\frac{1}{4}$时，由mn=1可得n=4，此时n-m=$\frac{15}{4}$；
当n=16时，由mn=1可得m=$\frac{1}{16}$，这与m＜n矛盾，应舍去．
故选：B．

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．