Question

10．已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，用反证法证明：a，b，c＞0．

Answer 1

分析 假设a，b，c不全是正数，这时需要逐个讨论a，b，c不是正数的情形．但注意到条件的特点（任意交换a，b，c的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数（例如a），其他两个数（例如b，c）与这种情形类似．

解答 证明：设a＜0，∵abc＞0，∴bc＜0．
又由a+b+c＞0，则b+c＞-a＞0
∴ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0     
与题设矛盾
又：若a=0，则与abc＞0矛盾，
∴必有a＞0，
同理可证：b＞0，c＞0．

点评 本题是一个全部性问题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．于是考虑采用反证法．