Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点为F，上顶点为B，圆O以椭圆C的中心为圆心，半径等于线段BF的长．
（1）求圆O的标准方程；
（2）过F的直线L与圆O交于A，B两点，问圆O上是否存在点P满足条件$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$；若存在，请求出直线L的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得圆O的半径，即为椭圆的半长轴长，圆心在原点，则圆O的方程可求；
（2）直线L过定点F，对直线L的斜率是否存在进行讨论，P点满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，且在圆O上，然后对P验证即可．

解答 解：（1）根据题意，BF=a=2，圆O的圆心为原点，
∴圆O的标准方程为x²+y²=4；
（2）当直线L的斜率不存在时，直线L的方程为x=1，则A（1，$\sqrt{3}$），B（1，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（2，0）$，若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立，则P的坐标为（2，0），点P（2，0）在圆O上，满足题意；
当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y=kx-k（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）-2k=-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$．
若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立，则P点坐标为（$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$），
且点P（$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$）在圆x²+y²=4上，
∴$（\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）^{2}+（-\frac{2k}{1+{k}^{2}}）^{2}=4$．
化简得：k²=k²+1，无解．
综上，存在唯一一条直线x=1满足题意．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查平面向量在求解直线与圆锥曲线问题中的应用，是中档题．