Question

17．函数f（x）=$\sqrt{a-{a^x}}$（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，log_a$\frac{5}{6}$-${log_{\sqrt{a}}}\sqrt{\frac{5}{48}}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对a分类讨论，利用函数的单调性、对数的运算性质即可得出．

解答 解：①若a＞1，∵x∈[0，1]，∴a-a^x∈[0，a-1]，则$\sqrt{a-1}$=1，解得a=2．
∴log_a$\frac{5}{6}$-${log_{\sqrt{a}}}\sqrt{\frac{5}{48}}$=$lo{g}_{2}\frac{5}{6}$-$lo{g}_{2}\frac{5}{48}$=log₂8=3．
②若0＜a＜1，∵x∈[0，1]，∴a-a^x∈[a-1，0]，不满足题意，舍去．
综上可得：log_a$\frac{5}{6}$-${log_{\sqrt{a}}}\sqrt{\frac{5}{48}}$=3．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．