Question

已知A(x₁,f(x₁))，B(x₂,f(x₂))是函数f(x)=2sin(wx+j)(w＞0,＜j＜0)图象上的任意两点，且角j的终边经过点P(l，-)，若|f(x₁)-f(x₂)|=4时，|x₁-x₂|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈时，不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

（1）f(x)=2sin(3x-)；（2）[+，+]， k∈Z；（3）[，+¥).

试题分析：（1）由角j的终边经过点P(l，-)及＜j＜0可求得j的值，又|f(x₁)-f(x₂)|=4时，|x₁-x₂|的最小值为可最小正周期为，从而可求出w的值，即可求出其表达式；（2）由复合函数的知识可令3x-=u，只需令+2kp≤u≤+2kp，解出x的范围即是函数的单调递增区间；（3）不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立要求m的范围，只需用分离变量的作法，等价于，而x∈，可求出f(x)的范围，从而可求出的最大值，则m恒大于或等于其最大值.
试题解析：(1)角j的终边经过点P(1，-)，tanj=-，∵＜j＜0，∴j=-.由|f(x₁)-f(x₂)|=4时，|x₁-x₂|的最小值为，得T=，即=，∴w=3，∴f(x)=2sin(3x-)
(2)令+2kp≤3x-≤+2kp，得+≤x≤+，k∈Z
∴函数f(x)的单调递增区间为[+，+]，k∈Z.
(3)当x∈时，-≤f(x)≤1，所以2+f(x)＞0，mf(x)+2m≥f(x)等价于.由-≤f(x)≤1，得的最大值为，所以实数m的取值范围是[，+¥).