Question

5．如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为矩形，BC⊥EB，EA⊥EB，M，N分别为AE，CD的中点，求证：
（1）直线MN∥平面EBC；
（2）直线EA⊥平面EBC．

Answer 1

分析 （1）取BE的中点F，连接CF，MF，通过证明四边形EFCN是平行四边形得出MN∥CF，得出MN∥平面EBC；
（2）证明BC⊥平面EAB得出BC⊥AE，结合AE⊥EB得出EA⊥平面EBC．

解答 证明：（1）取BE的中点F，连接CF，MF，
∵M是AE的中点，F是BE的中点，
∴MF∥AB，MF=$\frac{1}{2}$AB，
又N是矩形ABCD的边CD的中点，
∴NC∥AB，NC=$\frac{1}{2}$AB，
∴MF∥NC，MF=NC，
∴四边形MNCF是平行四边形，
∴MN∥CF，又MN?平面BCE，CF?平面EBC，
∴MN∥平面EBC．
（2）∵BC⊥AB，BC⊥EB，EB∩AB=B，AB?平面EAB，EB?平面EAB，
∴BC⊥平面EAB，又EA?平面EAB，
∴BC⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩BC=B，EB?平面BCE，BC?平面BCE，
∴AE⊥平面BCE．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，属于中档题．