Question

14．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
可用公式：$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n（\overline x{）^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x{）^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\overline y$-$\widehat{b}$$\overline x$．

Answer 1

分析 （1）由所给数据计算得平均数$\overline{t}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，即可写出回归直线方程；
（2）根据回归系数$\stackrel{∧}{b}$=0.5＞0，判断该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加；将2015年的年份代号t=9代入回归方程计算$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由所给数据计算得$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
计算回归系数
$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n（\overline x{）^2}}}}$
=$\frac{（1×2.9+2×3.3+…+7×5.9）-7×4×4.3}{{（1}^{2}+{2}^{2}+…{+7}^{2}）-7{×4}^{2}}$=0.5，
$\widehat{a}$=$\overline y$-$\widehat{b}$$\overline x$=4.3-0.5×4=2.3，
所求回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.5t+2.3；…（6分）
（2）由（1）知，$\stackrel{∧}{b}$=0.5＞0，
故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，…（8分）
将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得$\stackrel{∧}{y}$=0.5×9+2.3=6.8；…（11分）
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元．…（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．