某牙膏厂生产的牙膏的年销售量x万支与年广告费用a万元满足$x=3-\frac{k}{a+1}$.如果不进行广告宣传.则该牙膏的年销售量是1万支．已知2014年生产该牙膏的固定投入为8万元.每生产1万支该产品需要再投入16万元.厂家将每支牙膏的销售价格定为每支牙膏平均成本的$\frac{3}{2}$倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金.不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

9．某牙膏厂生产的牙膏的年销售量（即该厂的年产量）x万支与年广告费用a万元（a≥0）满足$x=3-\frac{k}{a+1}$（k为常数），如果不进行广告宣传，则该牙膏的年销售量是1万支．已知2014年生产该牙膏的固定投入为8万元，每生产1万支该产品需要再投入16万元，厂家将每支牙膏的销售价格定为每支牙膏平均成本的$\frac{3}{2}$倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括广告费用）．
（1）将2014年该产品的利润y万元表示为年广告费用a万元的函数；
（产品的利润=销售收入-产品成本-广告费用）
（2）该厂家2014年的广告费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大值是多少？

分析（1）由题意可知当a=0时，x=1（万件），可得1=3-k，解得k．即可得出$x=3-\frac{2}{a+1}$．每件产品的销售价格为$15•\frac{8+16x}{x}$（元）．可得2014年的利润y=x$（\frac{3}{2}•\frac{8+16x}{x}）$-（8+16x+a）=-$[\frac{16}{a+1}+（a+1）]+29$（a≥0）．
（2）方法一：利用基本不等式的性质即可得出．
方法二：利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．

解答解：（1）由题意可知当a=0时，x=1（万件）
∴1=3-k，即k=2．
所以$x=3-\frac{2}{a+1}$．每件产品的销售价格为$15•\frac{8+16x}{x}$（元）
∴2014年的利润y=x$（\frac{3}{2}•\frac{8+16x}{x}）$-（8+16x+a）=4+8x-a=4+8$（3-\frac{2}{a+1}）$-a
=-$[\frac{16}{a+1}+（a+1）]+29$（a≥0）．
（2）方法一：∵$a≥0，\frac{16}{a+1}+（{a+1}）≥2\sqrt{16}=8$，
∴y≤-8+29=21．当且仅当$\frac{16}{a+1}=（{a+1}）⇒a=3$（万元）时，y_max=21（万元）
所以当广告费用为3万元时，利润最大，最大值是21万元．
方法二：求导：$y=x（{\frac{3}{2}×\frac{8+16x}{x}}）-（{8+16x+a}）$=4+8x-a
=$4+8（{3-\frac{2}{a+1}}）$-a=$（{-\frac{16}{a+1}}）$-a+28，y'=$\frac{16}{{{{（a+1）}^2}}}$-1，
令y'=0，求得a=3，代入原函数，最大为21万元．

点评本题考查了函数的性质及其应用、基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

19．已知$\vec a=（{1，2}），\vec b=（{-2，y}）$，且$\vec a∥\vec b$．求：
（Ⅰ）$\vec a•\vec b$；
（Ⅱ）$2\vec a-\vec b$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

20．已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，
（1）求没有抓到白球的概率；
（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

17．数列{a_n}中，${a_1}=\frac{5}{3}，{a_2}=\frac{7}{3}$，且${a_{n+2}}=\frac{5}{3}{a_{n+1}}-\frac{2}{3}{a_n}\begin{array}{l}，{n∈{N^*}}\end{array}$．
（1）求a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）若数列{b_n}的前n项和${S_n}=\frac{1}{3}{n^2}$，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

4．已知函数f（x）的导函数为f'（x），对一切的x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，对任意正数a，b，若a＜b，则有（　　）

	A．	bf（lna）＜af（lnb）		B．	bf（lna）=af（lnb）
	C．	bf（lna）＞af（lnb）		D．	bf（lna）与af（lnb）的大小不确定

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

14．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
可用公式：$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n（\overline x{）^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x{）^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\overline y$-$\widehat{b}$$\overline x$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

5．