Question

3．设函数f（x）=x³+3ax²-9x+5，若f（x）在x=1处有极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）在x=1时取极值，则求出f′（x）得到f′（1）=0，解出求出a即可．
（2）利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的极值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+6ax-9，f（x）在x=1时取得极值，
∴f′（1）=3+6a-9=0
∴a=1．
（2）由（1）可得f′（x）=3x²+6x-9=3（x-1）（x+3）．
函数的极值点为x=1，x=-3，
当x＜-3，或x＞1时，函数是增函数，x∈（-3，1）时，函数是减函数，
x=-3函数取得极大值，极大值为：f（-3）=32，
x=1时，函数取得极小值，极小值为：f（1）=0．

点评 本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查学生的计算能力，是中档题．